Question

△ABC中，A，B，C分別是三角形的三個內(nèi)角，且有4cosB•sin2(

π

4

+

B

2

)=sin2B+1
（1）求B
（2）若cosA+cosC=1，試判斷三角形的形狀．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：解三角形

分析：（1）由三角函數(shù)中的恒等變換化簡可得cosB=

1

2

（B為△ABC的內(nèi)角），故可求得B的值；
（2）由（1）及已知可得cosA+cos（

2π

3

-A）=1，化簡可得A=

π

3

，C=

π

3

，故故三角形為等邊三角形．

解答： 解：（1）4cosB•sin2(

π

4

+

B

2

)=sin2B+1
⇒4cosB•

1-cos[2×( π 4 + B 2 )]

2

=sin2B+1
⇒2cosB+2cosBsinB=sin2B+1
⇒cosB=

1

2

（B為△ABC的內(nèi)角）
⇒B=

π

3

．
（2）∵∠B=

π

3

，
∴∠C=

2π

3

-A，
∴cosA+cosC=1
⇒cosA+cos（

2π

3

-A）=1
⇒cosA-

1

2

cosA+

3

2

sinA=1
⇒sin（

π

6

+A）=1
⇒

π

6

+A=

π

2

⇒A=

π

3

，C=

π

3

，
故三角形為等邊三角形．

點(diǎn)評：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查了等邊三角形的判定，屬于基礎(chǔ)知識的考查．