Question

【題目】已知橢圓的離心率為，拋物線的準(zhǔn)線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為．

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，點(diǎn)分別是橢圓的左頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)（都在軸上方）．且．證明：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線過(guò)定點(diǎn)

【解析】

（1）根據(jù)題意可得1，a2＝2b2，求解即可.

（2）設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及直線的斜率公式將條件轉(zhuǎn)化，即可求k，m的關(guān)系式，代入直線方程即可求出定點(diǎn).

（1）由題意可知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，又橢圓被準(zhǔn)線截得弦長(zhǎng)為，

∴點(diǎn)在橢圓上，∴，① 又，∴，

∴，②，由①②聯(lián)立，解得，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，

（2）設(shè)直線，設(shè)，

把直線代入橢圓方程，整理可得，，即，

∴，，

∵，∵都在軸上方．且，∴，

∴，即，

整理可得，∴，

即，整理可得，

∴直線為，∴直線過(guò)定點(diǎn).