Question

（本題滿分10分）已知函數(shù)且

（1）試用含的代數(shù)式表示；

（2）求的單調(diào)區(qū)間；

（3）令，設(shè)函數(shù)在處取得極值，記點(diǎn)，證明：線段與曲線存在異于、的公共點(diǎn)；

Answer 1

（1）；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為R；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；（3）證明見(jiàn)解析．

【解析】

試題分析：（1）求導(dǎo)，利用進(jìn)行求解；（2）求導(dǎo)，利用分類討論思想討論兩根的大小關(guān)系研究其單調(diào)區(qū)間；（3）構(gòu)造函數(shù)，證明在區(qū)間上有零點(diǎn)．

解題思路:1．研究函數(shù)的單調(diào)性，往往利用其導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行證明；2．證明直線與曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，往往可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題．

試題解析：（1）依題意，得

由得

（2）由（1）得

故

令，則或

①當(dāng)時(shí)，

當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下表：

	+	—	+
	單調(diào)遞增	單調(diào)遞減	單調(diào)遞增

由此得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為

②由時(shí)，，此時(shí)，恒成立，且僅在處，故函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為R

③當(dāng)時(shí)，，同理可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為

綜上：

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為R；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為

（3）當(dāng)時(shí)，得

由，得

由（2）得的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為

所以函數(shù)在處取得極值。

故

所以直線的方程為

由得

令

易得，而的圖像在內(nèi)是一條連續(xù)不斷的曲線，

故在內(nèi)存在零點(diǎn)，這表明線段與曲線有異于的公共點(diǎn)．

考點(diǎn)：1．函數(shù)的單調(diào)性；2．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題；3．導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．

考點(diǎn)分析： 考點(diǎn)1：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 試題屬性

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