Question

8．已知函數f（x）=（ax²+x-1）•e^x（x∈R），f'（x）是函數f（x）的導函數，且f'（-3）=0．
（1）求實數a的值；
（2）求曲線f（x）在（1，f（1））處的切線的方程．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的導數，由f′（-3）=0，可得a=1；
（2）求出f（x）的解析式和導數，可得切線的斜率及切點坐標，運用點斜式方程，即可得到所求切線的方程．

解答 解：（1）∵函數f（x）=（ax²+x-1）•e^x，
∴f′（x）=[ax²+（2a+1）x]e^x，
由f′（-3）=（3a-3）e^-3=0，
解得a=1；
（2）由（1）可知，f（x）=（x²+x-1）•e^x，
f′（x）=（x²+3x）e^x，
可得f（1）=e，f′（1）=4e，
即有曲線f（x）在（1，f（1））處的切線的方程為y-e=4e（x-1），
即為4ex-y-3e=0．

點評 本題考查導數的運用：求切線的方程，正確求導和運用點斜式方程是解題的關鍵，考查運算能力，屬于基礎題．