Question

如圖，三棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，頂點P在底面的射影是AC與BD的交點O，AB=2，∠PAC=60°．
（Ⅰ）求側(cè)面PBC與底面ABCD所成的銳二面角的正切值；
（Ⅱ）在線段PB上是否存在一點E，使得AE⊥PC，若存在，試確定點E的位置，并加以證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出∠PMO為側(cè)面與底面所成二面角平面角，由此能求出側(cè)面PBC與底面ABCD所成的銳二面角的正切值．
（2）以O為原點建立空間O-xyz，利用向量法能求出存在點E，且點E分PB的比為2時，滿足AE⊥PC．

解答： 解：（Ⅰ）如圖，O為底面ABCD的中心，
則∠PAO為PA與底面所成的角，
∴∠PAO=60°，
∵AO=

2

，∴PO=

6

，PA=2

2

，
過O作OM⊥BC于M，連結(jié)PM，
由三垂線定理，得BC⊥PM，
∴∠PMO為側(cè)面與底面所成二面角平面角，
∵OM=1，PO=

6

，
∴tan∠PMO=

6

，
∴側(cè)面PBC與底面ABCD所成的銳二面角的正切值為

6

．
（2）如圖，以O為原點建立空間O-xyz，
則A（0，-

2

，0），C（0，

2

，0），P（0，0，

6

），B（

2

，0，0），
假設在PB上存在一點E，滿足條件，設E分PB的比為r，
則E（

2 r

1+r

，0，

6

1+r

），
∴

AE

=(

2 r

1+r

，

2

，

6

1+r

)，

PC

=(0，

2

，-

6

)，
∵AE⊥PC，∴2-

6

1+r

=0，解得r=2．
∴存在點E，且點E分PB的比為2時，滿足AE⊥PC．

點評：本題考查直線與平面所成角的正切值的求法，考查滿足條件的點是否存在的判斷所求法，解題時要注意向量法的合理運用．