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【題目】在三棱錐中，，三角形為等邊三角形，二面角的余弦值為，當(dāng)三棱錐的體積最大值為時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為______.

【答案】

【解析】

根據(jù)題意作出圖象,利用三垂線定理找出二面角的平面角,再設(shè)出的長,

即可求出三棱錐的高,然后利用利用基本不等式即可確定三棱錐的體積最大值,從而得出各棱的長度,最后根據(jù)球的幾何性質(zhì),利用球心距,半徑,底面半徑之間的關(guān)系即可求出三棱錐的外接球的表面積.

如圖所示：

過點(diǎn)作面,垂足為,過點(diǎn)作交于點(diǎn),連接.

則為二面角的平面角的補(bǔ)角,即有.

∵易證面,∴,而三角形為等邊三角形, ∴為的中點(diǎn).

設(shè), .

∴.

故三棱錐的體積為

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),,即.

∴三點(diǎn)共線.

設(shè)三棱錐的外接球的球心為,半徑為.

過點(diǎn)作于,∴四邊形為矩形.

則,,,

在中,,解得.

三棱錐的外接球的表面積為.

故答案為：．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖兩個(gè)同心球，球心均為點(diǎn)，其中大球與小球的表面積之比為3:1，線段與是夾在兩個(gè)球體之間的內(nèi)弦，其中兩點(diǎn)在小球上，兩點(diǎn)在大球上，兩內(nèi)弦均不穿過小球內(nèi)部.當(dāng)四面體的體積達(dá)到最大值時(shí)，此時(shí)異面直線與的夾角為，則（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，，，底面ABCD是邊長為2的菱形，點(diǎn)E，F分別為棱DC，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G是棱SC靠近點(diǎn)C的四等分點(diǎn).

求證：（1）直線平面EFG；

（2）直線平面SDB.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為.

若點(diǎn)為拋物線上異于原點(diǎn)的任一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的切線交軸于點(diǎn)，證明：.

，是拋物線上兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn) (不與軸平行)，且.過軸上一點(diǎn)作直線軸，且被以為直徑的圓截得的弦長為定值，求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的標(biāo)準(zhǔn)長度為，只要誤差的絕對值不超過就認(rèn)為合格，工廠質(zhì)檢部抽檢了某批次產(chǎn)品1000件，檢測其長度，繪制條形統(tǒng)計(jì)圖如圖：

（1）估計(jì)該批次產(chǎn)品長度誤差絕對值的數(shù)學(xué)期望；

（2）如果視該批次產(chǎn)品樣本的頻率為總體的概率，要求從工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件，假設(shè)其中至少有1件是標(biāo)準(zhǔn)長度產(chǎn)品的概率不小于0.8時(shí)，該設(shè)備符合生產(chǎn)要求.現(xiàn)有設(shè)備是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求時(shí)，生產(chǎn)一件產(chǎn)品為標(biāo)準(zhǔn)長度的概率的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知復(fù)數(shù)滿足，的虛部為2，

（1）求復(fù)數(shù)；

（2）設(shè)在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)分別為，求的面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知雙曲線的兩頂點(diǎn)分別為，為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，為虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，若在線段上（不含端點(diǎn)）存在兩點(diǎn)，使得，則雙曲線的漸近線斜率的平方的取值范圍是（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨著時(shí)代的發(fā)展和社會的進(jìn)步，“農(nóng)村淘寶”發(fā)展十分迅速，促進(jìn)“農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)城”和“消費(fèi)品下鄉(xiāng)”.“農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)城”很好地解決了農(nóng)產(chǎn)品與市場的對接問題，使農(nóng)民收入逐步提高，生活水平得到改善，農(nóng)村從事網(wǎng)店經(jīng)營的人收入逐步提高.西鳳臍橙是四川省南充市的特產(chǎn)，因果實(shí)呈橢圓形、色澤橙紅、果面光滑、無核、果肉脆嫩化渣、汁多味濃，深受人們的喜愛.為此小王開網(wǎng)店銷售西鳳臍橙，每月月初購進(jìn)西鳳臍橙，每售出1噸西鳳臍橙獲利潤800元，未售出的西鳳臍橙，每1噸虧損500元.經(jīng)市場調(diào)研，根據(jù)以往的銷售統(tǒng)計(jì)，得到一個(gè)月內(nèi)西鳳臍橙市場的需求量的頻率分布直方圖如圖所示.小王為下一個(gè)月購進(jìn)了100噸西鳳臍橙，以x（單位：噸）表示下一個(gè)月內(nèi)市場的需求量，y（單位：元）表示下一個(gè)月內(nèi)經(jīng)銷西鳳臍橙的銷售利潤.

（1）將y表示為x的函數(shù)；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)小王的網(wǎng)店下一個(gè)月銷售利潤y不少于67000元的概率；

（3）在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率，（例如：若需求量，則取，且的概率等于需求量落入的頻率），求小王的網(wǎng)店下一個(gè)月銷售利潤y的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，為橢圓上一動點(diǎn)（異于左右頂點(diǎn)），面積的最大值為．

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓相交于點(diǎn)兩點(diǎn)，問軸上是否存在點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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