Question

已知函數f(x)=

1+sinx+cosx+sin2x

1+sinx+cosx

，
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在[0，2π]上的最值．

Answer 1

分析：將函數解析式分子中的“1”利用同角三角函數間的基本關系變形為sin²x+cos²x，與最后一項利用完全平方公式變形，提取公因式sinx+cosx，約分后再利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，
（1）找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期；
（2）由x的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數的圖象與性質求出f（x）的最大值與最小值即可．

解答：解：f（x）=

sin2x+cos2x+sinx+cosx+2sinxcosx

1+sinx+cosx

=

(sinx+cosx)2+sinx+cosx

1+sinx+cosx

=

(sinx+cosx)(1+sinx+cosx)

1+sinx+cosx

=sinx+cosx=

2

（

2

2

sinx+

2

2

cosx）=

2

sin（x+

π

4

），
（1）∵ω=1，∴T=

2π

1

=2π；
（2）∵x∈[0，2π]，∴x+

π

4

∈[

π

4

，

9π

4

]，
當x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

4

時，f（x）取得最大值

2

；當x+

π

4

=

3π

2

，即x=

5π

4

時，（x）取得最小值-

2

．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的定義域與值域，以及同角三角函數間的基本關系，熟練掌握公式及基本關系是解本題的關鍵．