Question

已知點A(1,0)，B(0,1)和互不相同的點P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，滿足＝a_n＋b_n (n∈N^*)，其中{a_n}，{b_n}分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列，O為坐標原點，若P₁是線段AB的中點．

(1)求a₁，b₁的值．

(2)點P₁，P₂，P₃，…，P_n，…能否在同一條直線上？請證明你的結論．

Answer 1

解：(1)P₁是線段AB的中點⇒＝＋，

又＝a₁＋b₁，且，不共線，

由平面向量基本定理，知a₁＝b₁＝.

(2)由＝a_n＋b_n (n∈N^*)⇒＝(a_n，b_n)，

設{a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，則由于P₁，P₂，P₃，…，P_n，…互不相同，所以d＝0，q＝1不會同時成立．

若d＝0，q≠1，則a_n＝a₁＝(n∈N^*)

⇒P₁，P₂，P₃，…，P_n，…都在直線x＝上；

若q＝1，d≠0，則b_n＝為常數(shù)列

⇒P₁，P₂，P₃，…，P_n，…都在直線y＝上；

若d≠0且q≠1，P₁，P₂，P₃，…，P_n，…在同一條直線上⇔＝(a_n－a_n－1，b_n－b_n－1)與＝(a_n＋1－a_n，b_n＋1－b_n)始終共線(n≥2，n∈N^*)

⇔(a_n－a_n－1)(b_n＋1－b_n)－(a_n＋1－a_n)(b_n－b_n－1)＝0

⇔d(b_n＋1－b_n)－d(b_n－b_n－1)＝0

⇔b_n＋1－b_n＝b_n－b_n－1

⇔q＝1，這與q≠1矛盾，

所以當d≠0且q≠1時，P₁，P₂，P₃，…，P_n，…不可能在同一條直線上.