Question

如圖所示，已知PA與⊙O相切，A為切點，PBC為割線，CD∥AP，AD與BC相交于點E，F為CE上一點，且DE2＝EF·EC.

(1)求證：∠P＝∠EDF；

(2)求證：CE·EB＝EF·EP；

(3)若CE∶BE＝3∶2，DE＝6，EF＝4，求PA的長．

 

Answer 1

(1) (2)見解析 (3)

【解析】

(1)證明　∵DE2＝EF·EC，∴DE∶CE＝EF∶ED.

∵∠DEF是公共角，∴△DEF∽△CED.

∴∠EDF＝∠C.

∵CD∥AP，∴∠C＝∠P.

∴∠P＝∠EDF.

(2)證明　∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA，

∴△DEF∽△PEA.

∴DE∶PE＝EF∶EA.即EF·EP＝DE·EA.

∵AD、BC相交于點E，

∴DE·EA＝CE·EB.∴CE·EB＝EF·EP.

(3)解　∵DE2＝EF·EC，DE＝6，EF＝4，∴EC＝9.

∵CE∶BE＝3∶2，∴BE＝6.

∵CE·EB＝EF·EP，∴9×6＝4×EP.

解得：EP＝.

∴PB＝PE－BE＝，PC＝PE＋EC＝.

由切割線定理得：PA2＝PB·PC，

∴PA2＝×，

∴PA＝.