Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；

（2）若有三個不同的零點，求的取值范圍；

（3）設(shè)，若無極大值點，有唯一的一個極小值點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增； （2）或；

（3）見解析

【解析】

（1）求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，由得增區(qū)間，由得減區(qū)間；

（2）設(shè)，則，則或或，討論和0的大小關(guān)系，由的單調(diào)性及最值，分析時是否有三個根即可；

（3）由題意可知，令，即在內(nèi)有唯一的一個正根，由求根公式得方程兩個根，因為只能有一個正跟，從而得，所以，由，得，代入，求導(dǎo)利用單調(diào)性即可證得.

（1）當(dāng)時，，

.

當(dāng)時，；當(dāng)時，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（2）設(shè)，則，則或或，

.

當(dāng)時，恒成立，∴在上為增函數(shù)，且時，；時，，則的零點有3個，符合題意.

當(dāng)時，，此時只有一個零點，不合題意.

當(dāng)時，若，則；若時，，

函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

又且時，；時，，

所以或或要有三個零點，則

即，所以

綜上所述，或.

（3）

.

因為在無極大值點，有唯一的一個極小值點

即，即在內(nèi)有唯一的一個正根.

所以，即

又，，

又因為只有唯一的一個正根，所以即.

當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

此時無極大值，有唯一一個極小值點，

所以，所以

所以

所以

.

所以在上單調(diào)遞減，所以

綜上，.