Question

    在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)、，若動點(diǎn)滿足且點(diǎn)的軌跡與拋物線交于、兩點(diǎn).

   （Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）在軸上是否存在一點(diǎn)，使得過點(diǎn)的直線交拋物線于于、兩點(diǎn)，并以線段為直徑的圓都過原點(diǎn)。若存在，請求出的值及圓心的軌跡方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ） 見解析   （Ⅱ）  

解析:

（I）解：由得

知點(diǎn)的軌跡是過，兩點(diǎn)的直線，故點(diǎn)的軌跡方程是：

即……………………………3分

由

故…………………………………………6分

（II）假設(shè)存在，使得過點(diǎn)的直線交拋物線，于、兩點(diǎn)，

并以線段為直徑的圓都過原點(diǎn)。設(shè)

      由題意，直線的斜率不為零，

      所以，可設(shè)直線的方程為

      代入 ………………………7分

則即

同時(shí)，

……………9分

則

又解得滿足式

      此時(shí)，以為直徑的圓都過原點(diǎn)。 ……………………11分

      設(shè)弦的中點(diǎn)為則

又

      則消去得,即為所求圓心的軌跡方程�！�………14分