Question

已知{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，{b_n}是公比為q的等比數(shù)列，
（1）若a_n=3n+1，是否存在m、k∈N*，有a_m+a_m+1=a_k？說明理由；
（2）找出所有數(shù)列{a_n}和{b_n}，使對(duì)一切n∈N*，，并說明理由；
（3）若a₁=5，d=4，b₁=q=3，試確定所有的p，使數(shù)列{a_n}中存在某個(gè)連續(xù)p項(xiàng)的和是數(shù)列{b_n}中的一項(xiàng)，請(qǐng)證明。

Answer 1

解：（1）由，
整理后，可得，
∵m、k∈N*，
∴k-2m為整數(shù)，
∴不存在m、k∈N*，使等式成立。
（2）若，（*）
（�。┤鬱=0，則，
當(dāng){a_n}為非零常數(shù)列，{b_n}為恒等于1的常數(shù)列，滿足要求。
（ⅱ）若d≠0，（*）式等號(hào)左邊取極限得，
（*）式等號(hào)右邊的極限只有當(dāng)q=1時(shí)，才能等于1。此時(shí)等號(hào)左邊是常數(shù)，
∴d=0，矛盾。
綜上所述，只有當(dāng){a_n}為非零常數(shù)列，{b_n}為恒等于1的常數(shù)列，滿足要求。
（3），
設(shè)，
，
∴，
∵p、k∈N*，
∴，
取，
由二項(xiàng)展開式可得正整數(shù)M₁、M₂，使得（4-1）^2s+2=4M₁+1，
，
∴，
∴存在整數(shù)m滿足要求；
故當(dāng)且僅當(dāng)p=3^s，s∈N時(shí)，命題成立。