Question

已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，a+b+c=1. 求證:

(1)a²+b²+c²≥

 (2)≤6

Answer 1

證明略

解析:

(1)證法一:a²+b²+c²－=(3a²+3b²+3c²－1)

=［3a²+3b²+3c²－(a+b+c)²］

=［3a²+3b²+3c²－a²－b²－c²－2ab－2ac－2bc］

=［(a－b)²+(b－c)²+(c－a)²］≥0  ∴a²+b²+c²≥

證法二:∵(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc

≤a²+b²+c²+a²+b²+a²+c²+b²+c²

∴3(a²+b²+c²)≥(a+b+c)²=1  ∴a²+b²+c²≥

證法三: ∵∴a²+b²+c²≥

∴a²+b²+c²≥

證法四： 設(shè)a=+α，b=+β，c=+γ.

∵a+b+c=1，∴α+β+γ=0

∴a²+b²+c²=(+α)²+(+β)²+(+γ)²

=+ (α+β+γ)+α²+β²+γ²

=+α²+β²+γ²≥

∴a²+b²+c²≥

∴原不等式成立.

證法二：

∴≤＜6

∴原不等式成立.