Question

【題目】已知橢圓C1： + =1（a＞b＞0）過點(diǎn)A（1， ），其焦距為2．

（1）求橢圓C1的方程；
（2）已知橢圓具有如下性質(zhì)：若橢圓的方程為 + =1（a＞b＞0），則橢圓在其上一點(diǎn)A（x0 ， y0）處的切線方程為 + =1，試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下問題：
（i）如圖（1），點(diǎn)B為C1在第一象限中的任意一點(diǎn)，過B作C1的切線l，l分別與x軸和y軸的正半軸交于C，D兩點(diǎn)，求△OCD面積的最小值；
（ii）如圖（2），過橢圓C2： + =1上任意一點(diǎn)P作C1的兩條切線PM和PN，切點(diǎn)分別為M，N．當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C2上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在定圓恒與直線MN相切？若存在，求出圓的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意得：橢圓的焦點(diǎn)為F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），由橢圓定義知：2a=|AF1|+|AF2|，

∴ ，所以橢圓C1的方程為 ．

（2）解：（�。┰O(shè)B（x2，y2），則橢圓C1在點(diǎn)B處的切線方程為

令x=0， ，令 ，所以

又點(diǎn)B在橢圓的第一象限上，所以 ，

∴

∴ ，當(dāng)且僅當(dāng)

所以當(dāng) 時(shí)，三角形OCD的面積的最小值為

（ii）設(shè)P（m，n），則橢圓C1在點(diǎn)M（x3，y3）處的切線為：

又PM過點(diǎn)P（m，n），所以 ，同理點(diǎn)N（x4，y4）也滿足 ，

所以M，N都在直線 上，

即：直線MN的方程為

所以原點(diǎn)O到直線MN的距離 = ，

所以直線MN始終與圓 相切．

【解析】（1）依題意得：橢圓的焦點(diǎn)為F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），由橢圓定義知：2a=|AF1|+|AF2|，即可求出a，b，從而可求橢圓C1的方程；（2）（i）確定 ，再結(jié)合基本不等式，即可求△OCD面積的最小值；（ii）先求出直線MN的方程，再求出原點(diǎn)O到直線MN的距離，即可得出結(jié)論．