Question

已知橢圓E的右焦點(diǎn)F（1，0），右準(zhǔn)線l：x=4，離心率e=

1

2

．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)A是橢圓E的左頂點(diǎn)，一經(jīng)過右焦點(diǎn)F的直線與橢圓E相交于P、Q兩點(diǎn)（P、Q與A不重合），直線AP、AQ分別與右準(zhǔn)線l相交于點(diǎn)M、N，求證：直線PN、直線QM與x軸相交于同一點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．由題意可得c=1，利用離心率公式e=

c

a

及a²=b²+c²，即可．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由于直線l的斜率不為0，可設(shè)直線l的方程為my=x-1，與橢圓方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系．利用點(diǎn)斜式分別寫出直線AP、AQ的方程即可得出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)．只要證明k_BM-k_QB為0，即可得到三點(diǎn)Q，B，M共線，即直線QM與x軸相交于右頂點(diǎn)B．同理直線PN與x軸相交于右頂點(diǎn)B，所以直線PN、直線QM與x軸相交于同一點(diǎn)B．

解答：解：（1）設(shè)橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
由題意可得

c=1 e= c a = 1 2 a2=b2+c2

，解得

a2=4 b2=3 c=1

．
∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由于直線l的斜率不為0，可設(shè)直線l的方程為my=x-1．
聯(lián)立

my=x-1 x2 4 + y2 3 =1

．消去x得到（3m²+4）y²+6my-9=0．
∴y1+y2=

-6m

3m2+4

，y1y2=

-9

3m2+4

．
直線AP的方程為y=

y1

x1+2

(x+2)，令x=4，得到y(tǒng)=

6y1

x1+2

，∴M(4，

6y1

x1+2

)．
直線AQ的方程為：y=

y2

x2+2

(x+2)，令x=4，得到y=

6y2

x2+2

，∴N(4，

6y2

x2+2

)．
∴k_BM-k_QB=

6y1 x1+2

4-2

-

y2

x2-2

=

3y1

x1+2

-

y2

x2-2

=

3y1(x2-2)-y2(x1+2)

(x1+2)(x2-2)

，
其分子=3y₁（my₂+1-2）-y₂（my₁+1+2）=2my₁y₂-3（y₁+y₂）=

-18m

3m2+4

-

-18m

3m2+4

=0，
∴k_BM-k_QB=0，即k_BM=k_QB，
∴三點(diǎn)Q，B，M共線，即直線QM與x軸相交于右頂點(diǎn)B．
同理直線PN與x軸相交于右頂點(diǎn)B，所以直線PN、直線QM與x軸相交于同一點(diǎn)B．

點(diǎn)評(píng)：本題中考查了橢圓的方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、利用斜率相等證明三點(diǎn)共線等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了分析問題和解決問題的能力、推理能力和計(jì)算能力．