Question

已知函數(shù)f（x）=

x+1

x

，證明函數(shù)f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：先化簡函數(shù)f（x），再用定義證明f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)即可．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

x+1

x

=1+

1

x

，
現(xiàn)證明函數(shù)f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)；
任取x₁、x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（1+

1

x1

）-（1+

1

x2

）
=

x2-x1

x1x2

，
∵x₁x₂＞0，x₂-x₁＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)．

點評：本題考查了用單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性問題，是基礎(chǔ)題目．