Question

如圖，在四棱錐中，平面，平面，，．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的大�。�

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ)

【解析】

試題分析：(Ⅰ)根據(jù)兩個(gè)平面垂直的條件，在平面內(nèi)找到一條垂直于平面的直線即可，取的中點(diǎn)，可證明平面；(Ⅱ) 二面角與二面角相等，二面角的平面角為，求出即可.（解法2采用的是向量的方法，求出平面、的法向量，即可證明平面平面；求出平面、的法向量，即可求出二面角.）

 (Ⅰ)證明：取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連，，，則 

平面，平面，∴，

是平行四邊形，.

，，又平面.

平面.平面.

從而平面平面.                                 6分

(Ⅱ)二面角與二面角相等，

由(Ⅰ)知二面角的平面角為.

，，

得，，

為正方形，，

∴二面角的大小為．                             12分

解法2：取的中點(diǎn)，連.

，，又平面.

以為原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

則由已知條件有: ，，

設(shè)平面的法向量為，

則由

及

可取 

又平面，，平面，

∴平面的法向量可取為.

， ∴，∴平面平面.           6分

（Ⅱ）設(shè)平面的法向量為，

則由

及

可取

∵平面的法向量可取為，

∴銳二面角的余弦值為，

∴二面角的大小為．                                 12分.

考點(diǎn)：空間位置關(guān)系、二面角、平面向量.