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已知橢圓的離心率為，橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構成的三角形的面積為．

(Ⅰ）求橢圓的方程；

(Ⅱ）已知動直線與橢圓相交于、兩點． ①若線段中點的橫坐標為，求斜率的值；②若點，求證：為定值．

 

【答案】

(Ⅰ)；(Ⅱ)①；②.

【解析】

試題分析：(Ⅰ)根據(jù)已知條件可設橢圓方程為：，則有，，，求解即可得到和的值，將對應的解代入橢圓方程即可；(Ⅱ)①將直線方程代入橢圓方程求得，，求得、兩點的橫坐標之和為，由已知條件“中點的橫坐標為”，得到，從而解得的值；

②根據(jù)①的、兩點的坐標求得③，結合、兩點坐標滿足直線方程，將③式化簡整理得，再由①中的根與系數(shù)的關系：，，代入化簡即可.

試題解析：(Ⅰ)因為滿足，，，

解得，，

則橢圓方程為：.                3分

(Ⅱ)①將代入中得，，

，

設，，則，

因為中點的橫坐標為，所以，

解得.            6分

②由①知，，，

所以

.                  12分

考點：1.橢圓的標準方程；2.橢圓的性質；3.方程的根與系數(shù)的關系；4.中點坐標公式；5.平面向量的數(shù)量積

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的離心率為e，兩焦點分別為F1、F2，拋物線C以F1為頂點、F2為焦點，點P為拋物線和橢圓的一個交點，若e|PF2|=|PF1|，則e的值為（　�。�
A、
1
2
B、
2
2
C、
3
3
D、以上均不對

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的離心率為
1
2
，焦點是（-3，0），（3，0），則橢圓方程為（　　）
A、
x2
36
+
y2
27
=1
B、
x2
36
-
y2
27
=1
C、
x2
27
+
y2
36
=1
D、
x2
27
-
y2
36
=1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在由圓O：x2+y2=1和橢圓C：
x2
a2
+y2=1（a＞1）構成的“眼形”結構中，已知橢圓的離心率為
6
3
，直線l與圓O相切于點M，與橢圓C相交于兩點A，B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線l，使得
OA
•
OB
=
1
2
OM
2，若存在，求此時直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知橢圓的離心率為
2
2
，準線方程為x=±8，求這個橢圓的標準方程；
（2）假設你家訂了一份報紙，送報人可能在早上6：30-7：30之間把報紙送到你家，你父親離開家去工作的時間在早上7：00-8：00之間，請你求出父親在離開家前能得到報紙（稱為事件A）的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，A，B是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右頂點，M是橢圓上異于A，B的任意一點，已知橢圓的離心率為e，右準線l的方程為x=m．
（1）若e=
1
2
，m=4，求橢圓C的方程；
（2）設直線AM交l于點P，以MP為直徑的圓交MB于Q，若直線PQ恰過原點，求e．

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