Question

在邊長是2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為AB，A₁C的中點．應(yīng)用空間向量方法求解下列問題．
（1）求EF的長
（2）證明：EF∥平面AA₁D₁D；
（3）證明：EF⊥平面A₁CD．

Answer 1

分析：（1）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出向量

EF

的坐標(biāo)表示，代入長度公式求解；
（2）求出

AD1

的坐標(biāo)表示，關(guān)鍵坐標(biāo)關(guān)系判斷EF∥AD₁，再利用線面平行的判定定理證明；
（3）利用

CD

•

EF

=0，

EF

•

A1D

=0，可證直線EF垂直于CD、A₁D，再利用線面垂直的判定定理證明．

解答：解：（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A₁（2，0，2），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D₁（0，0，2），D（0，0，0），
∵E，F(xiàn)分別為AB，A₁C的中點，∴E（2，1，0），F(xiàn)（1，1，1），

EF

=（-1，0，1），
∴|

EF

|=

1+0+1

=

2

．
（2）∵

AD1

=（-2，0，2）=2

EF

，∴EF∥AD₁，
又AD₁?平面AA₁D₁D，EF?平面AA₁D₁D，
∴EF∥平面AA₁D₁D．
（3）

CD

=（0，-2，0），

A1D

=（-2，0，-2），
∵

CD

•

EF

=0，

EF

•

A1D

=0，∴EF⊥CD，EF⊥A₁D，又CD∩A₁D=D，
∴EF⊥平面A₁CD．

點評：本題考查用空間向量坐標(biāo)運算求線段長，證明線面平行，證明線面垂直．用向量方法求解立體幾何問題，簡潔明了，關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求相關(guān)點與向量的坐標(biāo)．