Question

6．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，E是棱D₁C₁的中點，點F在正方體內部或正方體的表面上，若EF∥平面A₁BC₁，則動點F的軌跡所形成的區(qū)域面積是（　�。�

• A． $\frac{9}{8}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{3\sqrt{3}}{4}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 分別取棱CC₁、BC、AB、AA₁、A₁D₁的中點M、N、G、Q、P，推導出平面EMNGQP∥平面A₁BC₁，從而動點F的軌跡所形成的區(qū)域是平面EMNGQP，由此能求出動點F的軌跡所形成的區(qū)域面積．

解答 解：如圖，分別取棱CC₁、BC、AB、AA₁、A₁D₁的中點M、N、G、Q、P，
則PE∥A₁C₁∥GN，EM∥A₁B∥GQ，PQ∥BC₁∥MN，
∴平面EMNGQP∥平面A₁BC₁，
∵點F在正方體內部或正方體的表面上，若EF∥平面A₁BC₁，
∴動點F的軌跡所形成的區(qū)域是平面EMNGQP，
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，
∴PE=EM=MN=NG=GQ=PQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，PN=$\sqrt{2}$，
∴E到PN的距離d=$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴動點F的軌跡所形成的區(qū)域面積：
S=2S_梯形PNME=2×$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{6}}{4}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
故選：C．

點評 本題考查動點F的軌跡所形成的區(qū)域面積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、空間想象能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、數(shù)形結合思想，是中檔題．