Question

已知函數(shù)f（x）=x2－4，設(shè)曲線y＝f（x）在點(diǎn)（xn，f（xn））處的切線與x軸的交點(diǎn)為（xn+1,0）（n∈N +），其中xn為正實(shí)數(shù)．

（1）用xn表示xn+1；

（2）若x1=4，記an=lg，證明數(shù)列｛an｝成等比數(shù)列，并求數(shù)列｛xn｝的通項(xiàng)公式；

（3）若x1＝4，bn＝xn－2，Tn是數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和，證明Tn<3．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）詳見解析．

【解析】

試題分析：（1）由題設(shè)條件知曲線y=f（x）在點(diǎn)處的切線方程是．由此可知．所以．（2）由，知，同理．故．由此入手能夠?qū)С?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720011945332369/SYS201411172001272505821788_DA/SYS201411172001272505821788_DA.010.png">．（3）由題設(shè)知，所以，由此可知．

【解析】
（1）由題可得．

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程是：．

即．

令，得．

即．顯然，

∴．

（2）由，知，’同理．----6’

故．-----7’

從而，即．所以，數(shù)列成等比數(shù)列．---8’

故．即．----9’

從而,所以．----10’

（3）由（Ⅱ）知，∴

∴ ---11’

當(dāng)時(shí)，顯然．-------12’

當(dāng)時(shí)，-----13’

∴．綜上，．

考點(diǎn)：1．?dāng)?shù)列遞推式；2．等比關(guān)系的確定；3．?dāng)?shù)列的求和；4．不等式的證明．