Question

已知橢圓：（）的右焦點(diǎn)，右頂點(diǎn),右準(zhǔn)線且．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）動(dòng)直線：與橢圓有且只有一個(gè)交點(diǎn)，且與右準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，試探究在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）；（2）.

解析試題分析：（1）利用橢圓的右準(zhǔn)線方程為，及聯(lián)立方程組求得、，從而得出橢圓的方程；（2）聯(lián)立方程組消去得到關(guān)于的一元二次方程，利用判別式，得出，由橢圓的對(duì)稱性知，妨設(shè)點(diǎn)，利用推出，又聯(lián)立程組可求得的值.
試題解析：（1）由題意，，，，，由得.
橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.                                 5分
（2）由得：，
，即，
,,即.    8分
假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，則由橢圓的對(duì)稱性知，點(diǎn)應(yīng)在軸上，不妨設(shè)點(diǎn).
又，，，若以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)，
則+=恒成立，
故，
即.                                                            12分
存在點(diǎn)適合題意，點(diǎn)與右焦點(diǎn)重合，其坐標(biāo)為（1,0）.           13分
考點(diǎn)：橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的關(guān)系，向量的數(shù)量積.