Question

（12分）（2008•崇文區(qū)一模）已知拋物線C：y=ax2，點P（1，﹣1）在拋物線C上，過點P作斜率為k1、k2的兩條直線，分別交拋物線C于異于點P的兩點A（x1，y1），B（x2，y2），且滿足k1+k2=0．

（1）求拋物線C的焦點坐標(biāo)；

（2）若點M滿足，求點M的軌跡方程．

 

Answer 1

（1）（0，﹣）．（2）：x=﹣1（y≤﹣1且y≠﹣5）．

【解析】

試題分析：（1）將P代入拋物線C的方程即可求得a，進而拋物線的方程可得．

（2）設(shè)直線PA的方程為y+1=k1（x﹣1），與拋物線方程聯(lián)立消去y，得到關(guān)于x1的一元二次方程根據(jù)韋達定理求得x1與k1的關(guān)系，同樣設(shè)直線PB的方程為y+1=k2（x﹣1）與拋物線方程聯(lián)立消去y，進而可得x2與k2的關(guān)系，設(shè)點M的坐標(biāo)為（x，y）根據(jù)向量的關(guān)系求得x=﹣1，得出M的軌跡．

【解析】
（1）將P（1，﹣1）代入拋物線C的方程y=ax2得a=﹣1，

∴拋物線C的方程為y=﹣x2，即x2=﹣y．

焦點坐標(biāo)為F（0，﹣）．

（2）設(shè)直線PA的方程為y+1=k1（x﹣1），

聯(lián)立方程消去y得x2+k1x﹣k1﹣1=0，

則1•x1=﹣k1﹣1，即x1=﹣k1﹣1．

由△=k12﹣4（﹣k1﹣1）=（k1+2）2＞0，得k1≠﹣2．

同理直線PB的方程為y+1=k2（x﹣1），

聯(lián)立方程消去y得x2+k2x﹣k2﹣1=0，

則1•x2=﹣k2﹣1，即x2=﹣k2﹣1．且k2≠﹣2．

又∵k1+k2=0，∴k1≠2．

設(shè)點M的坐標(biāo)為（x，y），由

又∵k1+k2=0，∴x=﹣1．

=﹣（k12+1）≤﹣1，

又k1≠±2，∴y≠﹣5．

∴所求M的軌跡方程為：x=﹣1（y≤﹣1且y≠﹣5）．