Question

數(shù)列{a_n}的前n和為S_n，且滿足a_n+S_n=1（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）是否存在實數(shù)λ，使得數(shù)列{Sn+λn+

3λ

2n

}為等差數(shù)列，若存在，求出λ的值，若不存在，說明理由；
（3）設(shè)bn=

1

2n+1(an+1)(an+1+1)

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項公式,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）只需要寫出相鄰的項對應(yīng)的關(guān)系式，兩式相減即可獲得數(shù)列通項之間的關(guān)系，結(jié)合數(shù)列的特點即可獲得解答．
（2）假設(shè)存在實數(shù)λ，使得數(shù)列{Sn+λn+

3λ

2n

}為等差數(shù)列．S_n=1-

1

2n

，得到Sn+λn+

3λ

2n

=1+λn+

3λ-1

2n

，從而得到（1+λn+

3λ-1

2n

）-[1+λ（n-1）+

3λ-1

2n-1

]為常數(shù)，由此能求出λ．
（3）由a_n=

1

2n

，得到bn=

1

2n+1(an+1)(an+1+1)

=

1

2n+1

-

1

2n+1+1

，由此利用裂項求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n和為S_n，且滿足a_n+S_n=1（n∈N^*），
∴a₁+S₁=2a₁=1，解得a₁=

1

2

，
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=-a_n+a_n-1，
∴

an

an-1

=

1

2

，
∴{a_n}是首項為

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列，
∴a_n=

1

2n

．
（2）假設(shè)存在實數(shù)λ，使得數(shù)列{Sn+λn+

3λ

2n

}為等差數(shù)列．
∵{a_n}是首項為

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列，
∴S_n=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

，
∴Sn+λn+

3λ

2n

=1-

1

2n

+λn+

3λ

2n

=1+λn+

3λ-1

2n

，
∵數(shù)列{Sn+λn+

3λ

2n

}為等差數(shù)列，
∴（1+λn+

3λ-1

2n

）-[1+λ（n-1）+

3λ-1

2n-1

]
=λ+

3λ-1

2n-1

為常數(shù)，
∴

3λ-1

2n-1

=0，解得λ=

1

3

．
（3）∵a_n=

1

2n

，
∴bn=

1

2n+1(an+1)(an+1+1)

=

1

2n+1( 1 2n +1)( 1 2n+1 +1)

=

1

2n+1

•

1

1 2n +1

•

1

1 2n+1 +1

=

2n

2n+1

•

1

2n+1+1

=

1

2n+1

-

1

2n+1+1

，
∴T_n=

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

9

+…+

1

2n+1

-

1

2n+1+1

=

1

3

-

1

2n+1+1

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要注意裂項求和法的合理運用．