Question

19．已知直線l：y=kx+1（k≠0）與橢圓3x²+y²=a（a＞0）相交于A，B兩個不同的點，記直線l與y軸的交點為C．
（Ⅰ）若k=1，且$|AB|=\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，求實數a的值；
（Ⅱ）若$a=5，\;\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{CB}$，求k的值，及△AOB的面積．

Answer 1

分析 設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（I）聯立$\left\{\begin{array}{l}y=x+1\\ 3{x^2}+{y^2}=a\end{array}\right.$，利用韋達定理，通過弦長公式求解即可．
（II）通過$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\ 3{x}^{2}+{y}^{2}=5\end{array}\right.$，利用韋達定理得到${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2k}{3+{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{-4}{3+{k}^{2}}$，求出$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{CB}$求出k的值，然后求解三角形的面積．

解答 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
（I）聯立$\left\{\begin{array}{l}y=x+1\\ 3{x^2}+{y^2}=a\end{array}\right.$得：4x²+2x+1-a=0
因此，${x_1}+{x_2}=-\frac{1}{2}，{x_1}{x_2}=\frac{1-a}{4}$，
$|AB|=\sqrt{2}|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{2（a-\frac{3}{4}）}=\frac{{\sqrt{10}}}{2}⇒a=2$…（6分）

（II）$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\ 3{x}^{2}+{y}^{2}=5\end{array}\right.$，可得：（3+k²）x²+2kx-4=0.${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2k}{3+{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{-4}{3+{k}^{2}}$，
直線l：y=kx+1（k≠0）與y軸的交點為C（0，1），$\overrightarrow{AC}$=（-x₁，1-y₁），$\overrightarrow{CB}$=（x₂，y₂-1），…（9分）
由$\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{CB}$得：x₁=-2x₂，代入${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2k}{3+{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{-4}{3+{k}^{2}}$，
得：$-{x_2}=-\frac{2k}{{3+{k^2}}}，-2{x_2}^2=-\frac{4}{{3+{k^2}}}$
消去x₂得：${k^2}=3⇒k=±\sqrt{3}$…（12分）
${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|OC||{x_1}-{x_2}|=\frac{1}{2}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{{4{k^2}}}{{{{（3+{k^2}）}^2}}}+\frac{16}{{3+{k^2}}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$…（15分）

點評 本題考查直線與橢圓的綜合應用，考查三角形的面積的求法，考查計算能力．