Question

【題目】對(duì)于函數(shù)，若存在成立，則稱的不動(dòng)點(diǎn).如果函數(shù)

有且只有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)0，2，且

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列，求數(shù)列通項(xiàng)；

（3）如果數(shù)列滿足，求證：當(dāng)時(shí)，恒有成立.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意得方程有兩解0，2，代入可得再根據(jù)得結(jié)合解得c,b，最后代入驗(yàn)證舍去不滿足題意的解，（2）代入化簡(jiǎn)得再根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系解得最后代入驗(yàn)證，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式求結(jié)果，（3）利用反證法，假設(shè)先由得，再根據(jù)得兩者矛盾，即得結(jié)論.

解：設(shè)得：由違達(dá)定理得：

解得代入表達(dá)式，由

得不止有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，

（2）由題設(shè)得 （A）

且 （B）

由（A）（B）得：

解得（舍去）或；由，若這與矛盾，

，即{是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，

；

（3）證法（一）：運(yùn)用反證法，假設(shè)則由（1）知

∴，而當(dāng)

這與假設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立，∴.

證法（二）：由

得<0或結(jié)論成立；

若 ，此時(shí)從而

即數(shù)列{}在時(shí)單調(diào)遞減，由，可知上成立.