Question

9．若△ABC的內角A，C，B成等差數(shù)列，且△ABC的面積為2$\sqrt{3}$，則AB邊的最小值是2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由條件利用等差數(shù)列的定義求得C=$\frac{π}{3}$，再利用三角形的面積公式求得ab=8，再利用余弦定理，基本不等式即可求得AB邊的最小值．

解答 解：△ABC中，A、C、B成等差數(shù)列，故2C=A+B，故C=$\frac{π}{3}$，A+B=$\frac{2π}{3}$．
∵△ABC的面積為$\frac{1}{2}$•ab•sinC=$\frac{1}{2}×ab×\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴ab=8，
∴AB²=c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab=8，（當且僅當a=b時等號成立），
∴AB邊的最小值為2$\sqrt{2}$．
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查等差數(shù)列的定義，三角形的面積公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的應用，考查了轉化思想的應用，屬于基礎題．