Question

已知函數(shù).

（1）當a=l時，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

（3）令，是否存在實數(shù)a，當(e是自然對數(shù)的底數(shù))時，函數(shù)g(x)最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）；（3）存在實數(shù).

【解析】

試題分析：（1）把代入函數(shù)解析式得，且定義域為，利用導數(shù)法可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由，分別解不等式，，注意函數(shù)定義域，從而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）此問題利用導數(shù)法來解決，若函數(shù)在上是減函數(shù)，則其導函數(shù)在上恒成立，又因為，所以函數(shù)，必有，從而解得實數(shù)的取值范圍；（3）利用導數(shù)求極值的方法來解決此問題，由題意得，則，令，解得，通過對是否在區(qū)間上進行分類討論，可求得當時，有，滿足條件，從而可求出實數(shù)的值.

（1）當時，. 2分

因為函數(shù)的定義域為，

所以當時，，當時，.

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為. 4分

（2）在上恒成立.

令，有， 6分

得，. 8分

（3）假設存在實數(shù)，使有最小值3，

. 9分

當時，在上單調(diào)遞減，

，（舍去）； 10分

②當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

，解得，滿足條件； 12分

③當時，在上單調(diào)遞減，

，（舍去）. 13分

綜上，存在實數(shù)，使得當時，有最小值3. 14分

考點：1.導數(shù)性質；2.不等式求解；3.分類討論.