Question

 已知向量a=(cosωx+sinωx,sinωx),b=(-cosωx+sinωx,2cosωx),設(shè)函數(shù)f(x)=a·b+λ(x∈R)的圖象關(guān)于直線x=π對稱,其中ω,λ為常數(shù),且ω∈.

(1) 求函數(shù)f(x)的最小正周期;

(2) 若函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點,求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的取值范圍.

Answer 1

 (1)因為f(x)=sin2 ωx-cos2 ωx+2sin ωx·cos ωx+λ=-cos 2ωx+sin 2ωx+λ=2sin2ωx-+λ.

由直線x=π是函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸,

可得sin=±1,

所以2ωπ-=kπ+(k∈Z),

即ω=+(k∈Z).

又ω∈,k∈Z,所以k=1,故ω=.

所以函數(shù)f(x)的最小正周期是.

(2) 由函數(shù)f(x)的圖象過點,得f=0,

即λ=-2sin=-2sin =-,

即λ=-,故f(x)=2sin-.

由0≤x≤,得-≤x-≤,

所以-≤sin≤1,

所以-1-≤f(x)≤2-,

故函數(shù)f(x)的取值范圍為[-1-,2-].