Question

4．已知f（log₂x）=ax²-2x+1-a，a∈R．
（1）求f（x）的解析式；
（2）解關(guān)于x的方程f（x）=（a-1）•4^x
（3）設(shè)h（x）=2^-xf（x），a＞1時(shí)，對任意x₁，x₂∈[-1，1]總有|h（x₁）-h（x₂）|≤$\frac{4a+1}{2}$成立求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令log₂x=t即x=2^t，從而求出f（t）的解析式，最后將t用x替換即可求出所求；
（2）將f（x）=（a-1）•4^x進(jìn)行配方得（2^x-1）²=a，討論a可得方程的解的情況；
（3）將“對任意x₁，x₂∈[-1，1]總有|h（x₁）-h（x₂）|≤$\frac{4a+1}{2}$成立”轉(zhuǎn)化成“當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，h（x）_max-h（x）_min≤$\frac{4a+1}{2}$恒成立”討論研究函數(shù)h（x）的最值，從而求出a的取值范圍．

解答 解：（1）令log₂x=t即x=2^t，則f（t）=a•（2^t）²-2•2^t+1-a，
即f（x）=a•2^2x-2•2^x+1-a，x∈R，
（2）由f（x）=（a-1）•4^x化簡得：2^2x-2•2^x+1-a=0，
即（2^x-1）²=a，
當(dāng)a＜0時(shí)，方程無解；
當(dāng)a≥0時(shí)，解得2^x=1±$\sqrt{a}$，
若0≤a＜1，則x=log₂（1±$\sqrt{a}$），
若a≥1，則x=log₂（1+$\sqrt{a}$）；
（3）對任意x₁，x₂∈[-1，1]總有|h（x₁）-h（x₂）|≤$\frac{4a+1}{2}$成立”
轉(zhuǎn)化成“當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，h（x）_max-h（x）_min≤$\frac{4a+1}{2}$恒成立”，
設(shè)h（x）=2^-xf（x）=a•2^x+$\frac{1-a}{{2}^{x}}$-2，
令2^x=t，則g（t）=at+$\frac{1-a}{t}$-2，t∈[$\frac{1}{2}$，2]，
當(dāng)a＞1時(shí)，g（t）在[$\frac{1}{2}$，2]單調(diào)遞增，
此時(shí)g（t）_max=g（2）=$\frac{3（a-1）}{2}$，g（t）_min=g（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{3a}{2}$，
g（t）_max-g（t）_min=$\frac{6a-3}{2}$，
由$\frac{6a-3}{2}$≤$\frac{4a+1}{2}$，解得1＜a≤2．
則a的取值范圍是（1，2]．

點(diǎn)評 本題是一道綜合題，主要考查了函數(shù)的解析式，解指數(shù)方程，以及函數(shù)恒成立問題，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．