Question

f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，且當x≥0時，f（x）=x（x-2）；若關于x的方程f²（x）-f（x）+t=0的方程有6個不相等的實根，求實數(shù)t的取值范圍（　�。�

• A、（0，

  1

  4

  ）
• B、（-∞，

  1

  4

  ）
• C、（-2，

  1

  4

  ）
• D、（-2，+∞）

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)的表達式，然后利用換元法將方程轉化為關于m的一元二次方程，利用數(shù)形結合即可得到結論．

解答： 解：當x＜0時，-x＞0，
∵當x≥0時，f（x）=x（x-2）；
∴f（-x）=-x（-x-2），
∵f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）=-x（-x-2）=-f（x），
∴f（x）=-x（x+2），x＜0，
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
設m=f（x），則當m＞1或m＜-1時，方程有1個根，
當m=1或m=-1時，方程有2個根，
當-1＜m＜1時，方程有3個根，
則f²（x）-f（x）+t=0等價為m²-m+t=0，
要使f²（x）-f（x）+t=0的方程有6個不相等的實根，
則等價為方程m²-m+t=0有兩個不同的根且-1＜m＜1，
設g（m）=m²-m+t，對稱性x=-

-1

2

=

1

2

，
則滿足

△=1-4t＞0 g(1)=t＞0 g(-1)=2+t＞0

，
即

t＜ 1 4 t＞0 t＞-2

，∴0＜t＜

1

4

，
故選：A．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應用，以及方程根的個數(shù)的應用，利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵．