Question

已知雙曲線,F為其右焦點(diǎn)，A（4，1）為平面上一點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，求|PA|+|PF|的最小值（如下圖）.

Answer 1

解析：題中出現(xiàn)了明顯的雙曲線第二定義特征——雙曲線上的點(diǎn)、焦點(diǎn)，可利用第二定義，將P到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為P到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離.

解：由雙曲線的第二定義可知，其中d為P到右準(zhǔn)線l：x=的距離，e=.

∴|PF|=ed=.

∴|PA|+|PF|=|PA|+·.

∴|PA|+|PF|=|PA|+d,則求|PA|+|PF|的最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：在雙曲線上求一點(diǎn)P，使P到A的距離與到右準(zhǔn)線l：x=的距離之和最小，如上圖所示，由平面幾何的知識(shí)知道，從直線外一點(diǎn)向該直線所引的線段中，垂線段最短，從而過(guò)點(diǎn)A向右準(zhǔn)線l：x=作垂線AB，交雙曲線于P點(diǎn)，此時(shí)|PA|+d最小，即|PA|+|PF|最小，最小值為垂線段AB的長(zhǎng)，易求|AB|=，故|PA|+|PF|的最小值為.

點(diǎn)評(píng)：這道題利用雙曲線的第二定義把點(diǎn)到點(diǎn)的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到線的距離問(wèn)題，這種利用定義的轉(zhuǎn)化的解題方法經(jīng)常用到.本題還利用了數(shù)形結(jié)合思想，充分利用了平面幾何的結(jié)論解決問(wèn)題.