Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+x²-ax，a∈R．
（Ⅰ）若a=3，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁、x₂，記過(guò)點(diǎn)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））的直線的斜率為k，問(wèn)是否存在a，使k=

2

a

-

a

2

？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），當(dāng)a=3時(shí)，f′(x)=

1

x

+2x-3=

1+2x2-3x

x

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）f′(x)=

1

x

+2x-a=

1+2x2-ax

x

令u（x）=2x²-ax+1，則△=a²-8，由此利用分類(lèi)討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出是否存在a，使k=

2

a

-

a

2

．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
當(dāng)a=3時(shí)，f′(x)=

1

x

+2x-3=

1+2x2-3x

x

當(dāng)0＜x＜

1

2

或x＞1，時(shí)，f'（x）＞0，…（2分）
當(dāng)

1

2

＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，

1

2

)，(1，+∞)，
單調(diào)遞減區(qū)間為(

1

2

，1)…（4分）
（Ⅱ）f′(x)=

1

x

+2x-a=

1+2x2-ax

x

令u（x）=2x²-ax+1，則△=a²-8，
1°當(dāng)△＜0，即-2

2

＜a＜2

2

時(shí)，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，此時(shí)f（x）無(wú)極值；…（5分）
2°當(dāng)△=0，即a=±2

2

時(shí)，f'（x）≥0，
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
此時(shí)f（x）無(wú)極值…（6分）
3°當(dāng)△＞0，即a＜-2

2

或a＞2

2

時(shí)，
方程u（x）=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1=

a- a2-8

4

，x2=

a+ a2-8

4

若a＜-2

2

，兩個(gè)根x₁＜x₂＜0，
此時(shí)，則當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，此時(shí)f（x）無(wú)極值…（7分）
若a＞2

2

，u（x）=0的兩個(gè)根x₁＞0，x₂＞0，不妨設(shè)x₁＜x₂，
則當(dāng)x∈（0，x₁）和（x₂，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，
f（x）在區(qū)間（0，x₁）和（x₂，+∞）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（x₁，x₂）時(shí)，f'（x）＜0，
f（x）在區(qū)間（x₁，x₂）上單調(diào)遞減，
則f（x）在x=x₁處取得極大值，在x=x₂處取得極小值，
且x1+x2=

a

2

，x1x2=

1

2

，
k=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

lnx1+x12-ax1-lnx2-x22+ax2

x1-x2

=

lnx1-lnx2

x1-x2

+(x1+x2)-a=

lnx1-lnx2

x1-x2

-

a

2

=

lnx1-lnx2

x1-x2

-

a

2

=

2

a

-

a

2

即

lnx1-lnx2

x1-x2

=

2

a

=

1

x1+x2

…（*）…（9分）
即ln

x1

x2

=

x1-x2

x1+x2

=

x1 x2 -1

x1 x2 +1

令

x1

x2

=t∈(0，1)，則上式等價(jià)于：lnt=

t-1

t+1

令g（t）=（t+1）lnt-t+1
則g′(t)=lnt+

t+1

t

-1=lnt+

1

t

令m(t)=lnt+

1

t

m′(t)=

1

t

-

1

t2

=

t-1

t2

＜0，
∴m（t）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，且m（t）＞m（1）=1＞0，
即g'（t）＞0在區(qū)間（0，1）恒成立，
∴g（t）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，且g（t）＜g（1）=0，
∴對(duì)?t∈（0，1），函數(shù)g（t）沒(méi)有零點(diǎn)，
即方程lnt=

t-1

t+1

在t∈（0，1）上沒(méi)有實(shí)根，…（11分）
即（*）式無(wú)解，
∴不存在實(shí)數(shù)a，使得k=

2

a

-

a

2

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、方程問(wèn)題．重點(diǎn)考查學(xué)生的代數(shù)推理論證能力，分類(lèi)討論等綜合解題能力，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．