Question

如圖，在四棱錐中，底面是矩形．已知，，， 

（1）證明平面；

（2）求異面直線與所成的角的正切值；

（3）求二面角的正切值．

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）；（3）.

【解析】本試題主要考查了立體幾何中的線面的垂直問(wèn)題的運(yùn)用，以及異面直線所成的角的求解，和二面角的求解的綜合運(yùn)用。

（1）證明：在中，由題設(shè)，，，可得，于是．在矩形中，，又，所以平面．

（2）解：由題設(shè)，，所以（或其補(bǔ)角）是異面直線與所成的角．

在中，由余弦定理得

．

由（Ⅰ）知平面，平面，

所以，因而，于是是直角三角形，

故．

所以異面直線與所成的角的正切值為．

（3）解：過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，連結(jié)．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061916591609457810/SYS201206191701180476182055_DA.files/image012.png">平面，平面，所以．又，因而平面，故為在平面內(nèi)的射影．由三垂線定理可知，．從而是二面角的平面角．

由題設(shè)可得，，，

，，．

于是在中，．

所以二面角的正切值為