Question

15．若區(qū)間[x₁，x₂]的 長 度 定 義 為|x₂-x₁|，函數(shù)f（x）=$\frac{（{m}^{2}+m）x-1}{{m}^{2}x}$（m∈R，m≠0）的定義域和值域都是[a，b]，則區(qū)間[a，b]的最大長度為（　�。�

• A． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 化簡f（x），首先考慮f（x）的單調性，由題意：$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=a}\\{f（b）=b}\end{array}\right.$，故a，b是方程f（x）的同號的相異實數(shù)根．利用韋達定理和判別式，求出a，b的關系，再求最大值．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{（{m}^{2}+m）x-1}{{m}^{2}x}$（m∈R，m≠0）的定義域是{x|x≠0}，則[m，n]是其定義域的子集，
∴[m，n]⊆（-∞，0）或（0，+∞）．
 f（x）=$\frac{（{m}^{2}+m）x-1}{{m}^{2}x}$=$\frac{m+1}{m}$-$\frac{1}{{m}^{2}x}$在區(qū)間[a，b]上時增函數(shù)，
則有：$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=a}\\{f（b）=b}\end{array}\right.$，
故a，b是方程f（x）=$\frac{m+1}{m}$-$\frac{1}{{m}^{2}x}$=x的同號相異的實數(shù)根，
即a，b是方程（mx）²-（m²+m）x+1=0同號相異的實數(shù)根．
那么ab=$\frac{1}{{m}^{2}}$，a+b=$\frac{m+1}{m}$，只需要△＞0，
即（m²+m）²-4m²＞0，解得：m＞1或m＜-3．
那么：n-m=$\sqrt{{（a+b）}^{2}-4ab}$=$\sqrt{-{3（\frac{1}{m}-\frac{1}{3}）}^{2}+\frac{4}{3}}$，
故b-a的最大值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故選：A．

點評 本題考查了函數(shù)性質的方程的運用，有一點綜合性，利用函數(shù)關系，構造新的函數(shù)解題．屬于中檔題，分類討論思想的運用，增加了本題的難度，解題時注意．