Question

有一位同學(xué)寫了一個(gè)不等式：≥(x∈R).

(1)她發(fā)現(xiàn)當(dāng)c=1、2、3時(shí)不等式都成立，試問：不等式是否對任何的正數(shù)c都成立？為什么？

(2)對已知的正數(shù)c，這位同學(xué)還發(fā)現(xiàn)，把不等式右邊的“”改成某些值，如-c、0等，不等式總是成立的，試求出所有這樣的值的集合M.

Answer 1

分析：解決這類不等式的常用方法就是變量代換，令=t，則t≥.然后再利用基本不等式或函數(shù)的單調(diào)性來解決，這樣就引起分類討論.

解：(1)令=t≥,令f(x)=-

=.                                                         ①

    若不等式成立，即①式≥0，則需tc-1≥0x²≥-c.          ②

    而當(dāng)c=時(shí)，②式對于x∈R不能成立，所以原不等式對任何正數(shù)c不是都成立.

(2)當(dāng)0＜c≤1時(shí)，f(t)=t+≥2,當(dāng)t=1，

    即x=時(shí)取等號.

    所以［f(x)］_min=2,故M={m|m≤2}.

    當(dāng)c＞1時(shí)，t≥,t-1＞0.

    由①知，f(x)-≥0，

    當(dāng)t=，即x=0時(shí)，取等號，所以［f(x)］_min=，故M=(-∞,).

    綜上所述，當(dāng)0＜c≤1時(shí)，M=(-∞,2]；當(dāng)c＞1時(shí)，M=(-∞,).