Question

已知函數(shù)為奇函數(shù).

（1）求常數(shù)的值；

（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；

（3）函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象先向右平移2個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到，寫(xiě)出的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，若，求的值.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）減函數(shù)，證明見(jiàn)解析；（3）對(duì)稱(chēng)中心，．

【解析】

試題分析：（1）本題唯一的條件是為奇函數(shù)，故其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，通過(guò)求函數(shù)的定義域可求得，當(dāng)然這時(shí)還要根據(jù)奇函數(shù)的定義驗(yàn)證確實(shí)是奇函數(shù)；（2）要判斷函數(shù)的單調(diào)性，可根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)確定，然后再根據(jù)定義證明，而函數(shù)為奇函數(shù)，故只要判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性即可，變形為可得在是遞減，當(dāng)然它在上也是遞減的，然后用單調(diào)性定義田加以證明；（3）為奇函數(shù)，它的對(duì)稱(chēng)中心為，的圖象是由的圖象平移過(guò)去的，因此對(duì)稱(chēng)中心也相應(yīng)平移，即對(duì)稱(chēng)中心為，函數(shù)的圖象對(duì)稱(chēng)中心為，則有性質(zhì)：，因此本題是有，即.

試題解析：(1)因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，由，得

，所以.                        2分

這時(shí)滿(mǎn)足，函數(shù)為奇函數(shù)，因此        4分

（2）函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù).

法一:用單調(diào)性定義證明；

法二：利用已有函數(shù)的單調(diào)性加以說(shuō)明.

在上單調(diào)遞增，因此單調(diào)遞增，又在及上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在及上單調(diào)遞減；

法三：函數(shù)定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030303281682819351/SYS201403030328591562232027_DA.files/image026.png">，說(shuō)明函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，因此函數(shù)在上也是單調(diào)遞減，因此函數(shù)在及上單調(diào)遞減.

10分

（本題根據(jù)具體情況對(duì)照給分）

（3）因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，因此其圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)（0,0）對(duì)稱(chēng)，根據(jù)條件得到函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為，                               13分

因此有，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030303281682819351/SYS201403030328591562232027_DA.files/image030.png">，因此 16分

考點(diǎn)：（1）奇函數(shù)的性質(zhì)；（2）函數(shù)的單調(diào)性；（3）函數(shù)圖象的平移，函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性．