Question

6．已知橢圓$\frac{x^2}{9-m}+\frac{y^2}{m-3}$=1的左、右焦點分別為F₁、F₂，點P在該橢圓上．
（1）求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若m=5，且|PF₁|=3，求點P到x軸的距離．

Answer 1

分析 （1）由題意，$\left\{\begin{array}{l}{9-m＞0}\\{m-3＞0}\\{9-m≠m-3}\end{array}\right.$，即可求實數(shù)m的取值范圍；
（2）求出|PF₂|=1，|F₁F₂|=2$\sqrt{2}$，可得|PF₁|²=|PF₂|²+|F₁F₂|²，即可求點P到x軸的距離．

解答 解：（1）由題意，$\left\{\begin{array}{l}{9-m＞0}\\{m-3＞0}\\{9-m≠m-3}\end{array}\right.$，∴3＜m＜9且m≠6；
（2）m=5，橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1，∴a=2，b=$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{2}$
∵|PF₁|=3，∴|PF₂|=1，
∵|F₁F₂|=2$\sqrt{2}$，
∴|PF₁|²=|PF₂|²+|F₁F₂|²，
∴P到x軸的距離為1．

點評 本題考查橢圓的方程與定義，考查學生的計算能力，屬于中檔題．