Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}-|x-\frac{3}{2}|（x≤2）}\\{{e}^{x-2}（-{x}^{2}+8x-12）（x＞2）}\end{array}\right.$，若在區(qū)間（1，∞）上存在n（n≥2）個(gè)不同的數(shù)x₁，x₂，x₃，…，x_n，使得$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$=$\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$=…$\frac{f（{x}_{n}）}{{x}_{n}}$成立，則n的取值集合是（　�。�

• A． {2，3，4，5}
• B． {2，3}
• C． {2，3，5}
• D． {2，3，4}

Answer 1

分析 由題意可知n為方程f（x）=kx的解的個(gè)數(shù)，判斷f（x）的單調(diào)性，作出y=f（x）與y=kx的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷．

解答 解：設(shè)$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$=$\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$=…$\frac{f（{x}_{n}）}{{x}_{n}}$=k，則方程$\frac{f（x）}{x}=k$有n個(gè)根，
即f（x）=kx有n個(gè)根，
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-1，x≤\frac{3}{2}}\\{-x+2，\frac{3}{2}＜x≤2}\\{{e}^{x-2}（-{x}^{2}+8x-12），x＞2}\end{array}\right.$，
∴f（x）在（1，$\frac{3}{2}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{3}{2}$，2）上單調(diào)遞減．
當(dāng)x＞2時(shí)，f′（x）=e^x-2（-x²+8x-12）+e^x-2（-2x+8）=e^x-2（-x²+6x-4），
設(shè)g（x）=-x²+6x-4（x＞2），令g（x）=0得x=3+$\sqrt{5}$，
∴當(dāng)2$＜x＜3+\sqrt{5}$時(shí)，g（x）＞0，當(dāng)x＞3+$\sqrt{5}$時(shí)，g（x）＜0，
∴f（x）在（2，3+$\sqrt{5}$）上單調(diào)遞增，在（3+$\sqrt{5}$，+∞）上單調(diào)遞減，
作出f（x）與y=kx的大致函數(shù)圖象如圖所示：

由圖象可知f（x）=kx的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為1，2，3，4，
∵n≥2，故n的值為2，3，4．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程的解與函數(shù)圖象的關(guān)系，函數(shù)的單調(diào)性判斷，屬于中檔題．