Question

設定義域都為[

2

，8]的兩個函數(shù)f（x）和g（x）的解析式分別為f(x)=log2

x

4

和g(x)=log4

x

2

，
（1）求函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）的值域；
（2）求函數(shù)G（x）=f（x）•g（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由已知及對數(shù)的運算性質，化簡函數(shù)，利用對數(shù)函數(shù)的單調性，即可求函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）的值域；
（2）由已知及對數(shù)的運算性質，化簡函數(shù)，利用換元及配方法，可求函數(shù)的值域．

解答：解：（1）由已知及對數(shù)的運算性質可得，F(x)=f(x)+g(x)=log2

x

4

+log4

x

2

=log2x-log24+log4x-log42
=log2x-2+

1

2

log2x-

1

2

=

3

2

log2x-

5

2

，x∈[

2

，8]，-----（2分）
因為

2

≤x≤8，且log₂x的值隨著x的增大而增大，----------（3分）
所以log2

2

≤log2x≤log28，即

1

2

≤log2x≤3，--------（4分）
故-

7

4

≤

3

2

log2x-

5

2

≤2，即-

7

4

≤F(x)≤2---------------（5分）
所以函數(shù)F（x）的值域為[-

7

4

，2]---------------------（6分）
（2）由已知及對數(shù)的運算性質可得，G(x)=f(x)•g(x)=log2

x

4

•log4

x

2

=(log2x-2)•(

1

2

log2x-

1

2

)
=

1

2

(log2x)2-

3

2

log3x+1，x∈[

2

，8]，--------（8分）
令t=log2x，x∈[

2

，8]，則有

1

2

≤t≤3，
于是有函數(shù)y=

1

2

t2-

3

2

t+1，t∈[

1

2

，3]，
所以ymin=

4× 1 2 ×1-(- 3 2 )2

4× 1 2

=-

1

8

，ymax=max{

1

2

×(

1

2

)2-

3

2

×

1

2

+1，

1

2

×32-

3

2

×3+1}=max{

3

8

，1}=1--------（11分）
因此-

1

8

≤y≤1，即-

1

8

≤G(x)≤1，
所以函數(shù)G（x）的值域為[-

1

8

，1]．-----------（12分）

點評：本題考查函數(shù)的值域，考查函數(shù)的單調性，考查配方法的運用，屬于中檔題．