Question

在

4

-

+

9

-

=1中的“

10，15

”處分別填上一個自然數(shù)，并使它們的和最小

10

15

．

Answer 1

分析：若分別填上自然數(shù)a，b，則a，b滿足

4

a

+

9

b

=1，它們的和a+b=（a+b）•1=（a+b）•（

4

a

+

9

b

）=）=13+

4b

a

+

9a

b

，可利用基本不等式研究最小值及求出a，b的值．

解答：解：設(shè)應(yīng)分別填上自然數(shù)a，b，則

4

a

+

9

b

=1①，它們的和a+b=（a+b）•1=（a+b）•（

4

a

+

9

b

）=13+

4b

a

+

9a

b

≥13+2

4b a × 9a b

=25，
當(dāng)且僅當(dāng)

4b

a

=

9a

b

，b=

3

2

a②時取等號，將①代入②解得a=10，∴b=15．
故答案為：10，15．

點評：本題考查基本不等式的應(yīng)用：求最值．將a+b寫成（a+b）•1，再將1代換成

4

a

+

9

b

創(chuàng)造基本不等式適用的形式是本解法的關(guān)鍵．讀者應(yīng)體會掌握這一題型及方法．基本不等式求最值時要注意三個原則：一正，即各項的取值為正；二定，即各項的和或積為定值；三相等，即要保證取等號的條件成立．