Question

（16分）已知函數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）若曲線在處的切線也是拋物線的切線，求的值；

（2）若對(duì)于任意恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，是否存在，使曲線在點(diǎn)處的切線斜率與在上的最小值相等？若存在，求符合條件的的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

解：（1），所以在處的切線為

即：                          ………………………………2分

與聯(lián)立，消去得，

由知，或.        ………………………………4分

（2）

①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，

，故不恒成立，所以不合題意 ；………………6分

②當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，所以符合題意；

③當(dāng)時(shí)令，得， 當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，故在上是單調(diào)遞減，在上是單調(diào)遞增, 所以又，，

綜上：.                 ………………………………10分

(3)當(dāng)時(shí)，由（2）知，

設(shè)，則，

假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使曲線在點(diǎn)處的切線斜率與在上的最小值相等，即為方程的解，………………………………13分

令得：，因?yàn)?sub>， 所以.

令，則 ，

當(dāng)是，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，,故方程 有唯一解為1，

所以存在符合條件的，且僅有一個(gè).                ………………………………16分