Question

已知每項均大于零的數(shù)列{a_n}中，首項a₁=1且前n項的和S_n滿足S_n

S(n+1)

-S_n+1

Sn

=-2

Sn•S(n+1)

（n∈N^﹢），則a₅₁=

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：等式兩邊同除以

Sn•S(n+1)

，可得

Sn

}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，從而得到S_n=4n²-4n+1，利用n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，即可求得結(jié)論．

解答： 解：∵S_n

S(n+1)

-S_n+1

Sn

=-2

Sn•S(n+1)

，
∴

S(n+1)

-

Sn

=2，
∵a₁=1，
∴{

Sn

}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列
∴

Sn

=1+2（n-1）=2n-1
∴S_n=4n²-4n+1．
∴n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（4n²-4n+1）-[4（n-1）²-4（n-1）+1]=8n-8．
∴a₅₁=8×51-8=400
故答案為：400．

點評：本題考查數(shù)列的遞推式，解題時要注意求解通項公式的方法技巧．