Question

已知圓M：x²+y²﹣4x﹣8y+m=0與x軸相切．

（1）求m的值；

（2）求圓M在y軸上截得的弦長(zhǎng)；

（3）若點(diǎn)P是直線3x+4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線PA、PB與圓M相切，A、B為切點(diǎn)．求四邊形PAMB面積的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：

直線與圓的位置關(guān)系．

專題：

直線與圓．

分析：

（1）令y=0，利用△=0，即可求m的值；

（2）令x=0，求出圓M在y軸上的兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值，即可求弦長(zhǎng)；

（3）由題意知：S_PAMB=2S_△PAM=2×=4PB=4，利用PM的最小值等于點(diǎn)M到直線3x+4y+8=0的距離，即可求得結(jié)論．

解答：

解：（1）令y=0，有x²﹣4x+m=0，由題意知，△=16﹣4m=0，∴m=4

即m的值為4．…（4分）

（2）設(shè)⊙M與y軸交于E（0，y₁），F(xiàn)（0，y₂），令x=0有y²﹣8y+4=0①，

則y₁，y₂是①式的兩個(gè)根，則|y₁﹣y₂|==4．

所以⊙M在y軸上截得的弦長(zhǎng)為．…（9分）

（3）由題意知：S_PAMB=2S_△PAM=2×=4PB=4，…（10分）

∵PM的最小值等于點(diǎn)M到直線3x+4y+8=0的距離…（11分）

∴=6…（12分）

∴=，即四邊形PAMB的面積的最小值為．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．