Question

17．已知f（x）=ax+xlnx（a∈R）．
（Ⅰ）曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）＜x²在（1，+∞）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，可得a=-1，再由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（Ⅱ）由題意：ax+xlnx＜x²，即a＜x-lnx，由x＞1，可得a＜x-lnx恒成立．令g（x）=x-lnx，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極值、最值，即可得到a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），求導(dǎo)可得f′（x）=a+1+lnx，
由f′（1）=0得a+1=0，解得a=-1，
即f（x）=-x+xlnx，f′（x）=lnx，
令f′（x）＞0得x＞1；
令f′（x）＜0得0＜x＜1，
所以f（x）的增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（0，1）．
（Ⅱ）由題意：ax+xlnx＜x²，即a＜x-lnx，
∵x＞1，∴a＜x-lnx恒成立．
令g（x）=x-lnx，則g′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，
∴g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
又g（1）=1，∴當(dāng)x∈（1，+∞）時，g（x）＞1，
∴當(dāng)a≤1時，a＜g（x）恒成立，
∴a的取值范圍為（-∞，1]．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離，考查運算能力，屬于中檔題．