Question

【題目】如圖，在矩形中，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將沿著折起，使點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)處，且滿足.

（1）證明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連接，，由，進(jìn)而，由，得. 進(jìn)而平面,進(jìn)而結(jié)論可得證（2）（方法一）過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求得平面平面的法向量，由二面角公式求解即可（方法二）取的中點(diǎn)，上的點(diǎn)，使，連接，得，，得二面角的平面角為，再求解即可

（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，由已知得，所以，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以.

因?yàn)?/span>，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，

所以.

又因?yàn)?/span>，所以，從而平面，

所以，又，不平行，

所以平面.

（2）（方法一）由（1）知，過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)，，，，

所以，，.

設(shè)平面的法向量為，

由，得，令，得.

同理，設(shè)平面的法向量為，

由，得，

令，得.

所以二面角的余弦值為.

（方法二）取的中點(diǎn)，上的點(diǎn)，使，連接，易知，.

由（1）得，所以平面，所以，

又，所以平面，

所以二面角的平面角為.

又計(jì)算得，，，

所以.