Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）若存在極大值，證明：；

（2）若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．

【解析】

（1）．（x∈（0，+∞））．對(duì)a分類(lèi)討論，即可得出單調(diào)性極值．進(jìn)而證明結(jié)論．

（2）令h（x）=f（x）+ex-1-1=lnx-ax+a+ex-1-1，x∈[1，+∞），h（1）=0．，，對(duì)a分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值即可得出．

（1）

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，不存在極大值，

所以，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

的極大值為．

設(shè)，，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，．

所以的極大值大于等于0．

（2）設(shè)，

，，

所以單調(diào)遞增，

由知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

，，

若，則，在恒成立，

此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，滿足條件．

若，則，所以存在使得，

即在內(nèi)，有，在上單調(diào)遞減，

不滿足條件．

綜上，．