Question

已知拋物線x²=2py(p＞0),過焦點(diǎn)F的動(dòng)直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn),拋物線在A、B兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)Q,O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求·的值;

(2)求點(diǎn)Q的縱坐標(biāo);

(3)證明||²=||·||.

Answer 1

(1)解:∵F(0,),又依題意直線l不與x軸垂直,

∴設(shè)直線l的方程為y=kx+.由可得x²-2pkx-p²=0.

設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),則x₁+x₂=2pk,x₁x₂=-p².

y₁y₂=(kx₁+)(kx₂+)=k²x₁x₂+(x₁+x₂)+=-k²p²+k²p²+=,

∴·=x₁x₂+y₁y₂=p².

(2)解:由x²=2py,可得y=,∴y′=.

∴拋物線在A,B兩點(diǎn)處的切線的斜率分別為,.

∴在點(diǎn)A處的切線方程為y-y₁=(x-x₁),即y=x.

同理在點(diǎn)B處的切線方程為y=x.解方程組可得

即點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為.

(3)證明:由(2)可知,Q(pk,),∴||²=(0-pk)²+(+)²=(1+k²)p².

又y₁+y₂=kx₁++kx₂+=k(x₁+x₂)+p=p(1+2k²),

∴||·||=(y₁+)(y₂+)=y₁y₂+(y₁+y₂)+=+(1+2k²)+=(1+k²)p².

∴||²=||·||.