Question

7．已知函數f（x）=x³-x的圖象是曲線C
（1）求曲線C在點M（t，f（t））處的切線方程；
（2）求過點P（-1，0）的曲線C的切線方程；
（3）假設a＞0，如果過點（a，b）可以作曲線C的三條切線，證明：-a＜b＜f（a）

Answer 1

分析 （1）求出f′（x），根據切點為M（t，f（t）），得到切線的斜率為f'（t），所以根據斜率和M點坐標寫出切線方程即可；
（2）先求出函數的導函數，設出切點，然后求出在切點處的導數，從而求出切線的斜率，利用點斜式方程求出切線方程即可；
（3）設切線過點（a，b），則存在t使b=（3t²-1）a-2t³，于是過點（a，b）可作曲線y=f（x）的三條切線即為方程2t³-3at²+a+b=0有三個相異的實數根．記g（t）=2t³-3at²+a+b，求出其導函數=0時t的值，利用t的值分區(qū)間討論導函數的正負得到g（t）的單調區(qū)間，利用g（t）的增減性得到g（t）的極值，根據極值分區(qū)間考慮方程g（t）=0有三個相異的實數根，得到極大值大于0，極小值小于0列出不等式，求出解集即可得證．

解答 解：（1）求函數f（x）的導函數；f'（x）=3x²-1．
曲線y=f（x）在點M（t，f（t））處的切線斜率為3t²-1，切點為（t，t³-t），
即有切線方程為：y-f（t）=f'（t）（x-t），即y=（3t²-1）x-2t³；
（2）由f′（x）=3x²-1．設切線的斜率為k，設切點是（x₀，y₀），
則有y₀=x₀³-x₀，①
k=f′（x₀）=3x₀²-1，
切線的方程為y-x₀³+x₀=（3x₀²-1）（x-x₀），
代入（-1，0），可得-x₀³+x₀=（3x₀²-1）（-1-x₀），
解得x₀=-1或x₀=$\frac{1}{2}$，
∴所求曲線的切線方程為：x+4y+1=0或2x-y+2=0；
（3）證明：如果有一條切線過點（a，b），則存在t，使b=（3t²-1）a-2t³．
于是，若過點（a，b）可作曲線y=f（x）的三條切線，
則方程2t³-3at²+a+b=0有三個相異的實數根．
記g（t）=2t³-3at²+a+b，則g'（t）=6t²-6at=6t（t-a）．
當t變化時，g（t），g'（t）變化情況如下表：

t	（-∞，0）	0	（0，a）	a	（a，+∞）
g′（t）	+	0	-	0	+
g（t）	增	極大值a+b	減	極小值b-f（a）	增

由g（t）的單調性，當極大值a+b＜0或極小值b-f（a）＞0時，
方程g（t）=0最多有一個實數根；
當a+b=0時，解方程g（t）=0得t=0，t=$\frac{3a}{2}$，
即方程g（t）=0只有兩個相異的實數根；
當b-f（a）=0時，解方程g（t）=0得t=-$\frac{1}{2}$a，
即方程g（t）=0只有兩個相異的實數根．
綜上，如果過（a，b）可作曲線y=f（x）三條切線，
即g（t）=0有三個相異的實數根，則$\left\{\begin{array}{l}{a+b＞0}\\{b-f（a）＜0}\end{array}\right.$，
即-a＜b＜f（a）．

點評 本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，考查導數的幾何意義：切點處的導數值是切線的斜率；注意“在點處的切線”與“過點的切線”的區(qū)別，會利用導數研究函數的增減性得到函數的極值．