Question

【題目】如圖，已知為橢圓上的點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)與圓相交于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)與橢圓相交于點(diǎn)．

（1）求橢圓的離心率；

（2）若，求．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意列方程組： ，解方程組可得， ，再根據(jù)離心率定義求橢圓的離心率；（2）先根據(jù)垂徑定理求圓心到直線(xiàn)的距離,再根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式求直線(xiàn)AB的斜率,根據(jù)垂直關(guān)系可得直線(xiàn)PQ的斜率,最后聯(lián)立直線(xiàn)PQ與橢圓方程,利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求．

試題解析：解：（1）依題知，

解得，所以橢圓的離心率；

（2）依題知圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，

所以原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，

因?yàn)辄c(diǎn)坐標(biāo)為，所以直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)為．

所以直線(xiàn)的方程為，即，

所以，解得或．

①當(dāng)時(shí)，此時(shí)直線(xiàn)的方程為，

所以的值為點(diǎn)縱坐標(biāo)的兩倍，即；

②當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程為，

將它代入橢圓的方程，消去并整理，得，

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，解得，

所以．